真的有必要考试考求惯性矩吗？
Posted on 13 Apr 2015 SympyPython 添加评论
引言
我一直认为没有必要在考试中求截面矩和质心一类玩意（某校有一门课好像主要就在考求L形啊，I形的截面矩，我就不点名了）。因为现在的电脑（其实手机也可以）太容易求出这些几何性质的量了，而且实际上，这个求惯性矩的代码只有几行长，可以参见今天下午的另外一个文章里的代码。况且，ANSYS和AutoCAD都内置了相关函数。有人可能会说，那几个软件里只能求数值解，我要说其实就算要求解析解也不困难，这里就做个演示。
from sympy import Polygon, Point, var, init_printing, simplify
import sympy
init_printing()
var('b,h,t')
from second_moments import second_moments
矩形截面：
假设宽为b，高为h。
p = map(Point,((0,0),(b,0),(b,h),(0,h)))
poly = Polygon(*p)
poly.area
\[b h\]
\[Point(b/2, h/2)\]
Ix, Iy, Ixy = second_moments(poly)
Ix, Iy, Ixy
\[\left ( \frac{b h^{3}}{12}, \quad \frac{b^{3} h}{12}, \quad 0\right )\]
L形截面
假设厚度都是t,宽为b，高为h
p = map(Point,((0,0),(b,0),(b,t),(t,t),(t,h),(0,h)))
poly = Polygon(*p)
poly.area
\[t \left(b + h - t\right)\]
\[Point((b**2 + h*t - t**2)/(2*(b + h - t)), (b*t + h**2 - t**2)/(2*(b + h - t)))\]
Ix, Iy, Ixy = simplify(second_moments(poly))
Ix, Iy, Ixy
\[\left ( \frac{t}{12 b + 12 h - 12 t} \left(b^{2} t^{2} + 4 b h^{3} - 6 b h^{2} t + 4 b h t^{2} - 2 b t^{3} + h^{4} - 4 h^{3} t + 6 h^{2} t^{2} - 4 h t^{3} + t^{4}\right), \quad \frac{t}{12 b + 12 h - 12 t} \left(b^{4} + 4 b^{3} h - 4 b^{3} t - 6 b^{2} h t + 6 b^{2} t^{2} + 4 b h t^{2} - 4 b t^{3} + h^{2} t^{2} - 2 h t^{3} + t^{4}\right), \quad \frac{b h t \left(b h - b t - h t + t^{2}\right)}{- 4 b - 4 h + 4 t}\right )\]
你实际上还可以得到$t$是小量时候的二阶近似
simplify(sympy.series(Ix,t,n=2).removeO())
\[\frac{h^{3} t \left(4 b + h\right)}{12 b + 12 h}\]
simplify(sympy.series(Iy,t,n=2).removeO())
\[\frac{b^{3} t \left(b + 4 h\right)}{12 b + 12 h}\]
simplify(sympy.series(Ixy,t,n=2).removeO())
\[- \frac{b^{2} h^{2} t}{4 b + 4 h}\]
六边形：
外接圆半径为R的吧！
var('R')
p = [(sympy.cos(i)*R,sympy.sin(i)*R) for i in arange(6)/sympy.S.One/3*sympy.pi]
poly = Polygon(*p)
p
\[\left [ \left ( R, \quad 0\right ), \quad \left ( \frac{R}{2}, \quad \frac{\sqrt{3} R}{2}\right ), \quad \left ( - \frac{R}{2}, \quad \frac{\sqrt{3} R}{2}\right ), \quad \left ( - R, \quad 0\right ), \quad \left ( - \frac{R}{2}, \quad - \frac{\sqrt{3} R}{2}\right ), \quad \left ( \frac{R}{2}, \quad - \frac{\sqrt{3} R}{2}\right )\right ]\]
\[\frac{3 \sqrt{3}}{2} R^{2}\]
\[Point(0, 0)\]
\[\left ( \frac{5 \sqrt{3}}{16} R^{4}, \quad \frac{5 \sqrt{3}}{16} R^{4}, \quad 0\right )\]
