附录 C: 数学推导集合

本附录收集了全书所有关键地图投影公式的数学推导，包括墨卡托投影、横轴墨卡托投影、各种等角/等积/等距投影的完整推导过程，以及Tissot指示椭圆参数的系统推导。这些推导采用严谨的数学表述，从基本原理出发，逐步构建投影的数学框架。

C.1 墨卡托投影推导

C.1.1 问题定义与等角条件

设地球为半径 $R$ 的球体，建立球面坐标系 $(\lambda, \phi)$ 到平面坐标系 $(x, y)$ 的映射：

\[x = f(\lambda, \phi)\] \[y = g(\lambda, \phi)\]

其中：

$\lambda \in [-\pi, \pi]$ 为经度（longitude）
$\phi \in [-\pi/2, \pi/2]$ 为纬度（latitude）
$x, y$ 为平面坐标

等角条件（Conformal Condition）：投影在局部保持角度不变，即球面上任意一点的微小区域与投影平面上对应区域的形状相似。

C.1.2 球面线元素

在球面上，沿经度方向的微元长度：

\[dL_\lambda = R \cos(\phi) \, d\lambda\]

沿纬度方向的微元长度：

\[dL_\phi = R \, d\phi\]

C.1.3 投影平面线元素

投影后，平面上的微元长度为：

沿经度方向：

\[dl_\lambda = \sqrt{\left(\frac{\partial x}{\partial \lambda}\right)^2 + \left(\frac{\partial y}{\partial \lambda}\right)^2} \, d\lambda\]

沿纬度方向：

\[dl_\phi = \sqrt{\left(\frac{\partial x}{\partial \phi}\right)^2 + \left(\frac{\partial y}{\partial \phi}\right)^2} \, d\phi\]

C.1.4 等角条件的数学表述

等角性要求两个方向的比例因子相等：

\[\frac{dl_\lambda}{dL_\lambda} = \frac{dl_\phi}{dL_\phi} = k(\lambda, \phi)\]

其中 $k(\lambda, \phi)$ 为局部比例因子（scale factor）。

显式表示为：

\[\frac{\sqrt{\left(\frac{\partial x}{\partial \lambda}\right)^2 + \left(\frac{\partial y}{\partial \lambda}\right)^2}}{R \cos(\phi)} = \frac{\sqrt{\left(\frac{\partial x}{\partial \phi}\right)^2 + \left(\frac{\partial y}{\partial \phi}\right)^2}}{R}\]

C.1.5 简化假设

为了求解，采用以下合理假设：

经度线性映射：
\[x = R \lambda\]
这意味着：
\[\frac{\partial x}{\partial \lambda} = R, \quad \frac{\partial x}{\partial \phi} = 0\]
纬度独立映射：
\[y = y(\phi)\]
这意味着：
\[\frac{\partial y}{\partial \lambda} = 0, \quad \frac{\partial y}{\partial \phi} = \frac{dy}{d\phi}\]

C.1.6 应用等角条件

将简化假设代入等角条件：

经度方向比例因子：

\[h_\lambda = \frac{dl_\lambda}{dL_\lambda} = \frac{\sqrt{R^2 + 0}}{R \cos(\phi)} = \frac{R}{R \cos(\phi)} = \frac{1}{\cos(\phi)} = \sec(\phi)\]

纬度方向比例因子：

\[h_\phi = \frac{dl_\phi}{dL_\phi} = \frac{\sqrt{0 + \left(\frac{dy}{d\phi}\right)^2}}{R} = \frac{1}{R} \frac{dy}{d\phi}\]

令 $h_\lambda = h_\phi$ ：

\[\sec(\phi) = \frac{1}{R} \frac{dy}{d\phi}\]

C.1.7 关键微分方程与积分

得到关键微分方程：

\[\frac{dy}{d\phi} = R \sec(\phi)\]

积分求解：

\[y = R \int \sec(\phi) \, d\phi\]

使用标准积分公式：

\[\int \sec(\phi) \, d\phi = \ln|\sec(\phi) + \tan(\phi)| + C\]

使用等价形式（Gudermannian 函数相关）：

\[\int \sec(\phi) \, d\phi = \ln\left[\tan\left(\frac{\pi}{4} + \frac{\phi}{2}\right)\right] + C\]

这两个形式的等价性可通过三角恒等式证明：

\[\tan\left(\frac{\pi}{4} + \frac{\phi}{2}\right) = \sec(\phi) + \tan(\phi)\]

C.1.8 墨卡托投影最终公式

结合 $x$ 和 $y$ 的表达式，得到完整的墨卡托投影公式：

\[x = R \lambda\] \[y = R \ln\left[\tan\left(\frac{\pi}{4} + \frac{\phi}{2}\right)\right]\]

其中纬度 $\phi$ 使用弧度单位。

角度单位实用公式：

若 $\lambda, \phi$ 以角度单位表示：

\[x = R \cdot \frac{\pi}{180} \cdot \lambda\] \[y = R \ln\left[\tan\left(\frac{\pi}{4} + \frac{\pi \cdot \phi}{360}\right)\right]\]

C.1.9 墨卡托纬度（等量纬度）

定义墨卡托纬度（Isometric Latitude，又称高斯共轭纬度）：

\[\psi(\phi) = \ln\left[\tan\left(\frac{\pi}{4} + \frac{\phi}{2}\right)\right]\]

性质：

奇函数： $\psi(-\phi) = -\psi(\phi)$
单调递增： $\psi’(\phi) = \sec(\phi) > 0$ （对于 $\vert \phi\vert < \pi/2$ ）
无界性： $\lim_{\phi \to \pm \pi/2} \psi(\phi) = \pm \infty$

C.1.10 尺度因子分析

墨卡托投影的尺度因子：

\[k(\phi) = \sec(\phi) = \frac{1}{\cos(\phi)}\]

关键特征：

赤道（ $\phi = 0$ ）： $k = 1$ ，无变形
纬度 $\pm 60°$ ： $k = 2$ ，距离放大2倍
纬度 $\pm 75°$ ： $k \approx 3.86$
纬度 $\pm 85°$ ： $k \approx 11.47$
极点（ $\phi \to \pm 90°$ ）： $k \to \infty$

C.1.11 面积变形

面积比例因子：

\[p(\phi) = k^2(\phi) = \sec^2(\phi)\]

在纬度 $\phi$ 处，球面微元面积 $dA_{sphere} = R^2 \cos(\phi) \, d\lambda \, d\phi$ ，投影后面积 $dA_{map} = R^2 \sec(\phi) \, d\lambda \cdot R \sec(\phi) \, d\phi = R^2 \sec^2(\phi) \cos(\phi) \, d\lambda \, d\phi$ ：

\[\frac{dA_{map}}{dA_{sphere}} = \frac{R^2 \sec^2(\phi) \cos(\phi)}{R^2 \cos(\phi)} = \sec^2(\phi)\]

在纬度 $\phi$ 处，球面微元面积 $dA_{sphere} = R^2 \cos(\phi) \, d\lambda \, d\phi$ ，投影后面积 $dA_{map} = R^2 \sec(\phi) \, d\lambda \, d\phi$ ：

\[\frac{dA_{map}}{dA_{sphere}} = \frac{R^2 \sec(\phi)}{R^2 \cos(\phi)} = \sec^2(\phi)\]

C.2 等角航线（Rhumb Line）推导

C.2.1 等角航线定义

等角航线（Rhumb line，又称恒向线或对数螺线）是球面上保持固定方位角（azimuth） $\alpha$ 的曲线。

C.2.2 球面上的线元素

球面上的线元素（第一基本形式）：

\[ds^2 = dl_\lambda^2 + dl_\phi^2 = R^2 \cos^2(\phi) \, d\lambda^2 + R^2 \, d\phi^2\]

C.2.3 等角条件的微分方程

等角条件要求切线与纬线方向的夹角 $\psi$ 为常数：

\[\tan(\psi) = \frac{R \, d\phi}{R \cos(\phi) \, d\lambda} = \frac{d\phi}{\cos(\phi) \, d\lambda}\]

因此得到等角航线的微分方程：

\[\frac{d\phi}{d\lambda} = \tan(\psi) \cos(\phi)\]

或等价形式：

\[\frac{d\lambda}{d\phi} = \cot(\psi) \sec(\phi)\]

C.2.4 等角航线的解

对微分方程积分：

\[\int d\lambda = \cot(\psi) \int \sec(\phi) \, d\phi\] \[\lambda = \cot(\psi) \cdot \ln\left[\tan\left(\frac{\pi}{4} + \frac{\phi}{2}\right)\right] + C\]

其中 $C$ 为积分常数，由初始条件确定。

这个解表明等角航线在经度-纬度平面中表现为对数曲线，这也是”loxodrome”名称的由来（希腊语”loxos”意为斜的，”dromos”意为路径）。

C.2.5 墨卡托投影中等角航线的线性化

在墨卡托投影下：

\[x = R \lambda\] \[y = R \ln\left[\tan\left(\frac{\pi}{4} + \frac{\phi}{2}\right)\right]\]

因此，在投影平面上：

\[\frac{dy}{dx} = \frac{dy/d\phi}{dx/d\lambda} \cdot \frac{d\phi}{d\lambda}\]

计算导数：

\[\frac{dy}{d\phi} = R \sec(\phi), \quad \frac{dx}{d\lambda} = R\]

使用等角航线微分方程 $\frac{d\phi}{d\lambda} = \tan(\psi) \cos(\phi)$ ：

\[\frac{dy}{dx} = \frac{R \sec(\phi)}{R} \cdot \tan(\psi) \cos(\phi) = \tan(\psi)\]

这证明了墨卡托投影将球面的等角航线映射为平面上的直线。

C.3 第一基本形式与曲面的内蕴几何

C.3.1 曲面的第一基本形式

设曲面 $S$ 由参数方程 $\mathbf{r}(u, v) = (x(u,v), y(u,v), z(u,v))$ 给出。

第一基本形式：

\[ds^2 = E \, du^2 + 2F \, du \, dv + G \, dv^2\]

其中系数为：

\[E = \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial u} \cdot \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial u} = \left(\frac{\partial x}{\partial u}\right)^2 + \left(\frac{\partial y}{\partial u}\right)^2 + \left(\frac{\partial z}{\partial u}\right)^2\] \[F = \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial u} \cdot \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial v} = \frac{\partial x}{\partial u}\frac{\partial x}{\partial v} + \frac{\partial y}{\partial u}\frac{\partial y}{\partial v} + \frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial z}{\partial v}\] \[G = \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial v} \cdot \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial v} = \left(\frac{\partial x}{\partial v}\right)^2 + \left(\frac{\partial y}{\partial v}\right)^2 + \left(\frac{\partial z}{\partial v}\right)^2\]

C.3.2 球面的第一基本形式

半径为 $R$ 的球面，使用经纬度 $(\lambda, \phi)$ 作为参数：

球面参数方程：

\[\mathbf{r}(\lambda, \phi) = (R \cos\phi \cos\lambda, \, R \cos\phi \sin\lambda, \, R \sin\phi)\]

计算偏导数：

\[\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial \lambda} = (-R \cos\phi \sin\lambda, \, R \cos\phi \cos\lambda, \, 0)\] \[\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial \phi} = (-R \sin\phi \cos\lambda, \, -R \sin\phi \sin\lambda, \, R \cos\phi)\]

计算第一基本形系数：

\[E = R^2 \cos^2\phi (\sin^2\lambda + \cos^2\lambda) = R^2 \cos^2\phi\] \[F = R^2 \cos\phi \sin\lambda \sin\phi \cos\lambda - R^2 \cos\phi \cos\lambda \sin\phi \sin\lambda = 0\] \[G = R^2 \sin^2\phi (\cos^2\lambda + \sin^2\lambda) + R^2 \cos^2\phi = R^2\]

球面第一基本形式：

\[ds^2 = E \, d\lambda^2 + 2F \, d\lambda \, d\phi + G \, d\phi^2 = R^2 \cos^2\phi \, d\lambda^2 + R^2 \, d\phi^2\]

C.3.3 投影后的第一基本形式

投影将球面坐标 $(\lambda, \phi)$ 映射到平面坐标 $(x, y)$ ：

\[\mathbf{r}_{map}(\lambda, \phi) = (x(\lambda, \phi), y(\lambda, \phi), 0)\]

投影平面的第一基本形式系数：

\[E_{map} = \left(\frac{\partial x}{\partial \lambda}\right)^2 + \left(\frac{\partial y}{\partial \lambda}\right)^2\] \[F_{map} = \frac{\partial x}{\partial \lambda}\frac{\partial x}{\partial \phi} + \frac{\partial y}{\partial \lambda}\frac{\partial y}{\partial \phi}\] \[G_{map} = \left(\frac{\partial x}{\partial \phi}\right)^2 + \left(\frac{\partial y}{\partial \phi}\right)^2\]

C.4 高斯绝妙定理

C.4.1 主曲率与高斯曲率定义

在曲面上任一点，存在两个主曲率（principal curvatures） $k_1$ 和 $k_2$ ，分别是曲面在该点法曲率的最大值和最小值。

高斯曲率（Gaussian curvature） $K$：

\[K = k_1 \cdot k_2\]

使用第二基本形式系数 $L, M, N$ 和第一基本形式系数 $E, F, G$ ：

\[K = \frac{LN - M^2}{EG - F^2}\]

对于半径为 $R$ 的球面：

\[k_1 = k_2 = \frac{1}{R} \implies K_{sphere} = \frac{1}{R^2}\]

对于平面：

\[k_1 = k_2 = 0 \implies K_{plane} = 0\]

C.4.2 绝妙定理表述

定理（Theorema Egregium）：曲面的高斯曲率 $K$ 可以仅使用第一基本形式的系数 $E, F, G$ 及其对 $u, v$ 的导数表示。也就是说，高斯曲率是曲面的内蕴性质，不依赖于曲面在三维空间中的嵌入方式。

具体公式（Brioschi 公式的特化形式）：

\[K = \frac{1}{(EG - F^2)^2} \left[ \left| \begin{matrix} -\frac{1}{2}E_{vv} + F_{uv} - \frac{1}{2}G_{uu} & \frac{1}{2}E_u & F_u - \frac{1}{2}E_v \\ F_v - \frac{1}{2}G_u & E & F \\ \frac{1}{2}G_v & F & G \end{matrix} \right| - \left| \begin{matrix} 0 & \frac{1}{2}E_v & \frac{1}{2}G_u \\ \frac{1}{2}E_v & E & F \\ \frac{1}{2}G_u & F & G \end{matrix} \right| \right]\]

其中下标表示偏导数，如 $E_u = \frac{\partial E}{\partial u}$ 。

C.4.3 绝妙定理对地图投影的深刻意义

由于球面各点的高斯曲率 $K = 1/R^2 > 0$ ，而平面各点 $K = 0$ ，高斯绝妙定理意味着：

不存在等距映射：无法找到从球面到平面的保持所有距离的映射
无同时保持的投影：不存在同时保持所有角度和面积的投影
变形的必然性：任何投影都必须在几何性质之间做出权衡

具体推论：

等角投影： $k = h = \text{尺度因子}$ ，角度不变但面积 $p = k^2 \neq 1$
等积投影： $p = 1$ ，面积不变但角度变形 $\omega > 0$
混合投影：在多个性质间寻求优化

C.5 Tissot 指示椭圆推导

C.5.1 基本构造思想

在球面上任一点 $P(\lambda, \phi)$ 处取一个半径为 $\epsilon$ 的无穷小圆。投影后，这个圆在平面上一般变为椭圆。这个椭圆的形状、大小和方向完全表征了该点的投影变形性质。

C.5.2 球面上的微元圆

球面上点 $P$ 处，局部切平面上的微小圆可参数化为：

\[\mathbf{r}(s) = P + \epsilon \cdot (\cos s \cdot \mathbf{e}_1 + \sin s \cdot \mathbf{e}_2)\]

其中：

$s \in [0, 2\pi)$ 为角度参数
$\mathbf{e}_1$ 和 $\mathbf{e}_2$ 是切平面上的正交单位向量
在经纬度坐标系中， $\mathbf{e}_1 = \frac{1}{R} \frac{\partial}{\partial \lambda}$ ， $\mathbf{e}_2 = \frac{1}{R} \frac{\partial}{\partial \phi}$

C.5.3 投影后的椭圆

投影函数记作： $(x, y) = (f(\lambda, \phi), g(\lambda, \phi))$

对于无穷小变形，投影可近似为线性变换：

\[\begin{pmatrix} \Delta x \\ \Delta y \end{pmatrix} = \mathbf{J} \begin{pmatrix} \Delta \lambda \\ \Delta \phi \end{pmatrix}\]

雅可比矩阵：

\[\mathbf{J} = \begin{pmatrix} \frac{\partial x}{\partial \lambda} & \frac{\partial x}{\partial \phi} \\[6pt] \frac{\partial y}{\partial \lambda} & \frac{\partial y}{\partial \phi} \end{pmatrix}\]

C.5.4 Tissot 椭圆的二次型方程

定义以下度量系数：

\[E = \left( \frac{\partial x}{\partial \lambda} \right)^2 + \left( \frac{\partial y}{\partial \lambda} \right)^2\] \[F = \frac{\partial x}{\partial \lambda} \frac{\partial x}{\partial \phi} + \frac{\partial y}{\partial \lambda} \frac{\partial y}{\partial \phi}\] \[G = \left( \frac{\partial x}{\partial \phi} \right)^2 + \left( \frac{\partial y}{\partial \phi} \right)^2\]

投影后椭圆满足的二次型方程：

\[\frac{E}{R^2\cos^2\phi} \cos^2\theta + \frac{2F}{R^2\cos\phi} \cos\theta \sin\theta + \frac{G}{R^2} \sin^2\theta = 1\]

其中 $\theta$ 为椭圆上点的角度参数。

C.5.5 主比例因子与主方向

构造对称矩阵：

\[\mathbf{M} = \frac{1}{R^2 \cos^2\phi} \begin{pmatrix} E & F \cos\phi \\ F \cos\phi & G \cos^2\phi \end{pmatrix}\]

主比例因子 $\mathbf{M}$ 的特征值 $\lambda_1, \lambda_2$ ：

\[\lambda_{1,2} = \frac{\text{tr}(\mathbf{M}) \pm \sqrt{\text{tr}(\mathbf{M})^2 - 4\det(\mathbf{M})}}{2}\]

其中：

\[\text{tr}(\mathbf{M}) = \frac{E}{R^2 \cos^2\phi} + \frac{G}{R^2}\] \[\det(\mathbf{M}) = \frac{EG - F^2}{R^4 \cos^2\phi}\]

主比例因子（椭圆长短轴）：

\[a = \sqrt{\lambda_1}, \quad b = \sqrt{\lambda_2}\]

主方向（特征向量方向）的方位角 $\alpha$ ：

\[\tan 2\alpha = \frac{2F \cos\phi}{E - G \cos^2\phi}\]

C.5.6 Tissot 失真度量的数学表达式

最大角度变形（Maximum Angular Distortion）：

\[\omega = 2 \arcsin\left( \frac{a - b}{a + b} \right)\]

对于等角投影， $a = b$ ，故 $\omega = 0$ 。

面积比例因子（Area Scale Factor）：

\[p = a \cdot b = \sqrt{\det(\mathbf{M})}\]

使用雅可比行列式表示：

\[p = \frac{1}{R^2 \cos\phi} \left| \frac{\partial(x, y)}{\partial(\lambda, \phi)} \right| = \frac{1}{R^2 \cos\phi} \left| \frac{\partial x}{\partial \lambda} \frac{\partial y}{\partial \phi} - \frac{\partial x}{\partial \phi} \frac{\partial y}{\partial \lambda} \right|\]

对于等积投影， $p = 1$ 处处成立。

形状比例因子（Shape Scale Factor）：

\[s = \frac{a}{b} \geq 1\]

等角投影： $s = 1$ 。

Tissot 椭圆的离心率：

\[e = \sqrt{1 - \left(\frac{b}{a}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{s^2}}\]

C.6 横轴墨卡托投影与高斯-克吕格投影

C.6.1 横轴墨卡托投影的坐标旋转

横轴墨卡托（Transverse Mercator）通过旋转坐标系实现。设原坐标为 $(\lambda, \phi)$ ，中央经线为 $\lambda_0$ ，通过球面三角变换得到旋转后坐标 $(\lambda’, \phi’)$ ：

\[\sin\phi' = \sin\phi \cos\phi_0 - \cos\phi \sin\phi_0 \cos(\lambda - \lambda_0)\] \[\tan\lambda' = \frac{\cos\phi \sin(\lambda - \lambda_0)}{\sin\phi \sin\phi_0 + \cos\phi \cos\phi_0 \cos(\lambda - \lambda_0)}\]

对于标准横轴墨卡托，通常 $\phi_0 = 0$ （赤道），简化为：

\[\sin\phi' = -\cos\phi \cos(\lambda - \lambda_0)\] \[\tan\lambda' = \frac{\sin(\lambda - \lambda_0)}{\cos\phi \cos(\lambda - \lambda_0)}\]

C.6.2 投影公式

将旋转后的坐标 $(\lambda’, \phi’)$ 代入标准墨卡托公式：

\[X = R \lambda'\] \[Y = R \ln\left[\tan\left(\frac{\pi}{4} + \frac{\phi'}{2}\right)\right]\]

C.6.3 高斯-克吕格投影（椭球面）

高斯-克吕格投影（Gauss-Krüger Projection）是椭球面上的严格横轴墨卡托投影。

椭球面参数：

长半轴： $a$
扁率： $f = \frac{a - b}{a}$
第一偏心率： $e = \sqrt{2f - f^2}$
第二偏心率： $e’ = \frac{e}{\sqrt{1 - e^2}}$

子午线弧长（Mercator latitude）：从赤道到纬度 $\phi$ 的子午线弧长：

\[M(\phi) = a(1 - e^2) \int_0^\phi \frac{d\phi'}{(1 - e^2 \sin^2\phi')^{3/2}}\]

这是椭圆积分，无初等函数表达式。

级数展开（实用计算公式）：

\[M(\phi) = a \left[ A_0 \phi + A_2 \sin 2\phi + A_4 \sin 4\phi + A_6 \sin 6\phi + \cdots \right]\]

其中：

\[A_0 = 1 - \frac{3}{4}e^2 - \frac{3}{64}e^4 - \frac{5}{256}e^6 - \cdots\] \[A_2 = \frac{3}{8}e^2 + \frac{3}{32}e^4 + \frac{45}{1024}e^6 + \cdots\] \[A_4 = \frac{15}{256}e^4 + \frac{45}{1024}e^6 + \cdots\] \[A_6 = \frac{35}{3072}e^6 + \cdots\]

高斯-克吕格投影正算公式：

给定纬度 $\phi$ ，经度 $\lambda$ ，中央经线 $\lambda_0$ ，定义经度差 $\Delta\lambda = \lambda - \lambda_0$ 。

辅助量：

\[t = \tan\phi\] \[\eta^2 = e'^2 \cos^2\phi = \frac{e^2 \cos^2\phi}{1 - e^2}\] \[N = \frac{a}{\sqrt{1 - e^2 \sin^2\phi}}\]

（卯酉圈曲率半径）

投影坐标（X为北坐标，Y为东坐标）：

\[X = M(\phi) + N t \cos^2\phi \frac{\Delta\lambda^2}{2} \left[ 1 + \frac{\Delta\lambda^2}{12} \left(5 - t^2 + 9\eta^2 + 4\eta^4\right) + \cdots \right]\] \[Y = N \cos\phi \, \Delta\lambda \left[ 1 + \frac{\Delta\lambda^2}{6} \left(1 - t^2 + \eta^2 \right) + \frac{\Delta\lambda^4}{120} \left(5 - 18t^2 + t^4 + 14\eta^2 - 58t^2\eta^2 \right) + \cdots \right]\]

尺度因子（Scale factor）：

\[h(\Delta\lambda, \phi) = 1 + \frac{\Delta\lambda^2 \cos^2\phi}{2} (1 + \eta^2) + \frac{\Delta\lambda^4 \cos^4\phi}{24} (5 - 4t^2 + 14\eta^2 + \dots) + \cdots\]

在中央经线 $\Delta\lambda = 0$ 处： $h = 1$ （无变形）

C.7 兰伯特等角圆锥投影

C.7.1 投影设置

兰伯特等角圆锥投影（Lambert Conformal Conic Projection）使用两个标准纬线 $\phi_1$ 和 $\phi_2$ （ $\phi_1 < \phi_2$ ），中央经线为 $\lambda_0$ 。

C.7.2 圆锥常数

圆锥常数（cone constant） $n$ ：

\[n = \frac{\ln(\cos\phi_1 \sec\phi_2)}{\ln\left[ \tan\left(\frac{\pi}{4} + \frac{\phi_2}{2}\right) \cot\left(\frac{\pi}{4} + \frac{\phi_1}{2}\right) \right]}\]

C.7.3 坐标公式

定义常数：

\[F = \frac{a \cos\phi_1 \tan^n\left(\frac{\pi}{4} + \frac{\phi_1}{2}\right)}{n}\]

其中 $a$ 为地球半径（椭球面或球面）。极坐标半径：

\[\rho = F \cot^n\left(\frac{\pi}{4} + \frac{\phi}{2}\right)\]

极坐标角度：

\[\theta = n (\lambda - \lambda_0)\]

投影坐标：

\[x = \rho \sin\theta + x_0\] \[y = \rho_0 - \rho \cos\theta + y_0\]

其中 $(x_0, y_0)$ 为坐标原点偏移（通常用于使坐标为正值）， $\rho_0 = F \cot^n\left(\frac{\pi}{4} + \frac{\phi_0}{2}\right)$ ， $\phi_0$ 为参考纬度。

C.7.4 反算公式

给定平面坐标 $(x, y)$ ，计算纬度 $\phi$ 和经度 $\lambda$ ：

\[\theta' = \arctan\left(\frac{x - x_0}{\rho_0 - (y - y_0)}\right)\] \[\rho = \sqrt{(x - x_0)^2 + (\rho_0 - (y - y_0))^2}\] \[t = \left(\frac{\rho}{F}\right)^{1/n}\] \[\phi = \frac{\pi}{2} - 2 \arctan(t)\] \[\lambda = \frac{\theta'}{n} + \lambda_0\]

C.7.5 尺度因子

兰伯特等角圆锥投影在两个标准纬线 $\phi_1$ 和 $\phi_2$ 处尺度因子 $h = 1$ 。在标准纬线之间 $h < 1$ （收缩），在标准纬线之外 $h > 1$ （膨胀）。

C.8 球极投影（Stereographic Projection）

C.8.1 投影定义

球极投影是从球面到平面的透视投影，投影中心在球面上一点（通常为北极或南极），将球面（除投影中心的对径点外）投影到与球面相切的平面。

C.8.2 复数表示

设球面点 $P$ 的球坐标为 $(\lambda, \phi)$ ，平面上的对应点 $P’$ 的复坐标为 $w = X + iY$ 。使用复数表示，球极投影可以表述为：

\[w = \frac{2R}{1 + e^{-i\lambda} \sin\phi + \cos\phi}\]

C.8.3 实参数形式

北极切投影（射影中心为北极）：

\[X = 2R \cdot \frac{\cos\phi \cos\lambda}{1 + \sin\phi}\] \[Y = 2R \cdot \frac{\cos\phi \sin\lambda}{1 + \sin\phi}\]

南极切投影（射影中心为南极）：

\[X = 2R \cdot \frac{\cos\phi \cos\lambda}{1 - \sin\phi}\] \[Y = 2R \cdot \frac{\cos\phi \sin\lambda}{1 - \sin\phi}\]

C.8.4 等角性证明

球极投影是等角投影（Conformal projection），可通过复分析证明。复数表示 $w(z)$ 其中 $z = \tan(\frac{\pi}{4} + \frac{\phi}{2}) e^{i\lambda}$ 是 $z$ 的解析函数，满足柯西-黎曼方程，因此是保角的。

C.8.5 圆性质

球极投影的重要性质：球面上的圆（或大圆）投影为平面上的圆或直线。这来源于球极投影是莫比乌斯变换（Möbius transformation）的特例。

C.9 Web 墨卡托投影（WGS84/Pseudo-Mercator）

C.9.1 与传统墨卡托的差异

传统墨卡托（基于WGS84椭球体）采用球形地球近似：

\[x(\lambda) = R \lambda\] \[y(\phi) = R \ln\left[\tan\left(\frac{\pi}{4} + \frac{\phi}{2}\right)\right]\]

其中 $R = 6378137$ 米（等于WGS84椭球体的长半轴）。传统椭球体墨卡托的纬度映射包含偏心率修正项：

\[\psi(\phi) = \ln\left[\tan\left(\frac{\pi}{4} + \frac{\phi}{2}\right)\right] - \frac{e}{2}\ln\left[\frac{1 - e\sin\phi}{1 + e\sin\phi}\right]\]

其中 $e \approx 0.08181919$ 是WGS84的第一偏心率。 Web墨卡托省略了偏心率修正项，简化性能和实现。

C.9.2 纬度限制与正方形投影

为了使投影坐标空间为正方形（便于瓦片划分），将纬度限制为使投影坐标最大值为 $\pm 20037508.342789244$ 米：

\[y_{\max} = \pi R \approx 20037508.342789244 \text{ 米}\]

最大纬度 $\phi_{\max}$ ：

\[\pi = \ln\left[\tan\left(\frac{\pi}{4} + \frac{\phi_{\max}}{2}\right)\right]\] \[e^{\pi} = \tan\left(\frac{\pi}{4} + \frac{\phi_{\max}}{2}\right)\] \[\phi_{\max} = 2\arctan(e^{\pi}) - \frac{\pi}{2} \approx 1.484422 \text{ rad} \approx 85.05113°\]

因此，Web墨卡托的实用范围：

纬度： $-85.05113° \leq \phi \leq 85.05113°$
经度： $-180° \leq \lambda \leq 180°$
投影坐标： $x, y \in [-\pi R, \pi R] = [-20037508.342789244, 20037508.342789244]$ 米

C.9.3 逆投影公式

给定投影坐标 $(x, y)$ ，地理坐标为：

\[\lambda = \frac{x}{R} \cdot \frac{180}{\pi}\] \[\phi = \left[2\arctan\left(e^{y/R}\right) - \frac{\pi}{2}\right] \cdot \frac{180}{\pi}\]

C.9.4 EPSG代码

EPSG:3857：WGS84 / Pseudo-Mercator（Web Mercator 的官方代码）
EPSG:900913：早期使用的一个非官方代码（”google” 的谐音），现已弃用

C.10 其他投影的关键公式

C.10.1 等距圆柱投影（Equirectangular Projection）

等距圆柱投影（Plate Carrée）是最简单的投影之一，将经度和纬度线性映射到直角坐标：

\[x = R \lambda\] \[y = R \phi\]

或使用角度单位：

\[x = R \cdot \frac{\pi}{180} \cdot \lambda_{deg}\] \[y = R \cdot \frac{\pi}{180} \cdot \phi_{deg}\]

特点：经线间距与纬线间距相同，但高纬度变形严重。

C.10.2 正弦投影（Sinusoidal Projection）

正弦投影是等积的伪圆柱投影：

\[x = R \lambda \cos\phi\] \[y = R \phi\]

面积比例因子 $p = 1$ （等积），但不是等角的。

C.10.3 摩尔威德投影（Mollweide Projection）

摩尔威德投影是等积伪圆柱投影：

\[x = \frac{2\sqrt{2}}{\pi} R (\lambda - \lambda_0) \cos\theta\] \[y = \sqrt{2} R \sin\theta\]

其中 $\theta$ 与纬度 $\phi$ 的关系由方程确定：

\[2\theta + \sin 2\theta = \pi \sin\phi\]

C.10.4 罗宾逊投影（Robinson Projection）

罗宾逊投影是折衷投影，其公式通过表格定义，无简单闭式表达。通过数值插值表格计算纬度对应的 $x$ 比例和 $y$ 坐标。

C.11 投影变形的综合度量

C.11.1 Airy 平均误差

Airy 平均误差衡量投影在给定区域内的平均面积失真：

\[E_A = \frac{1}{S} \iint_S (a - 1)^2 \, dS\]

其中 $a$ 为局部面积比， $S$ 为积分区域。

C.11.2 Jordan 最大误差

Jordan 准则考虑最大误差：

\[E_J = \max_S |a - 1|\]

C.11.3 Goldberg-Gott 指标

Goldberg 与 Gott 提出的综合指标：

\[I_{GG} = \frac{1}{\pi} \left[ \alpha(\phi, \theta) \sqrt{d_{flex}^2 + d_{skew}^2 + d_{areal}^2} + d_{boundary}^2 + d_{cuts}^2 \right]\]

其中：

$\alpha(\phi, \theta)$ 为局部角度失真
$d_{flex}$ 为柔性失真（flexion，弯曲失真）
$d_{skew}$ 为剪切失真（skew）
$d_{areal}$ 为面积失真
$d_{boundary}$ 为边界失真
$d_{cuts}$ 为切口失真

C.12 瓦片坐标系统与投影的集成

C.12.1 瓦片数学

在缩放级别 $z$ （通常 $0 \leq z \leq 22$ ），投影空间划分为 $2^z \times 2^z$ 个 $256 \times 256$ 像素的瓦片。每个瓦片的投影坐标宽度：

\[\text{TileSize} = \frac{2 \cdot 20037508.342789244}{2^z} \text{ 米}\]

C.12.2 投影坐标到瓦片坐标的转换

给定投影坐标 $(x, y)$ 和缩放级别 $z$ ：

\[tile\_x = \left\lfloor \frac{x + \pi R}{2\pi R} \cdot 2^z \right\rfloor\] \[tile\_y = \left\lfloor \frac{\pi R - y}{2\pi R} \cdot 2^z \right\rfloor\]

像素坐标：

\[pixel\_x = \left\lfloor \left(\frac{x + \pi R}{2\pi R} \cdot 2^z - tile\_x\right) \times 256 \right\rfloor\] \[pixel\_y = \left\lfloor \left(\frac{\pi R - y}{2\pi R} \cdot 2^z - tile\_y\right) \times 256 \right\rfloor\]

C.12.3 像素分辨率

在缩放级别 $z$ ，像素分辨率为（单位：米/像素）：

\[\text{PixelResolution} = \frac{40075016.685578488 \text{ 米}}{256 \times 2^z}\]

例如，在 $z = 15$ 时：

\[\text{PixelResolution} \approx 4.77 \text{ 米/像素}\]

C.13 高级主题：现代数学技术的应用

C.13.1 变分法在投影优化中的应用

寻找最优投影可表述为变分问题：

\[\min_{f,g} \int_\Omega D[f,g; \lambda, \phi] \, dA\]

其中 $D$ 为失真度量函数， $\Omega$ 为投影区域。例如，最小化平均角度变形的等积投影：

\[\min_{f,g} \iint_\Omega \omega(\lambda, \phi) \, dA\]

约束条件： $ab = 1$ （等积）

C.13.2 分数阶微积分与失真分析

分数阶导数可以更精确地描述失真的渐进行为：

Caputo 分数阶导数：

\[D^\alpha f(x) = \frac{1}{\Gamma(n-\alpha)} \int_a^x \frac{f^{(n)}(t)}{(x-t)^{\alpha-n+1}} dt\]

其中 $n-1 < \alpha < n$ ， $\Gamma$ 是伽马函数。应用：分析比例因子 $k(\phi)$ 在极点附近的分数阶导数，理解失真的奇异行为。

C.13.3 信息论失真指标

从信息论角度定义投影失真：

互信息（Mutual Information）：

\[I(X; Y) = H(X) + H(Y) - H(X, Y)\]

其中 $X$ 为原始球面数据， $Y$ 为投影后数据， $H(\cdot)$ 为熵。互信息越大，投影保留的信息越多。

C.14 符号说明

$a$ ：椭球面长半轴
$b$ ：椭球面短半轴
$e$ ：第一偏心率， $e = \sqrt{1 - b^2/a^2}$
$e’$ ：第二偏心率， $e’ = e/\sqrt{1-e^2}$
$f$ ：扁率， $f = (a-b)/a$
$R$ ：球体半径（或椭球面的等价球体半径）
$\lambda$ ：经度
$\phi$ ：纬度
$x, y$ ：投影平面坐标
$E, F, G$ ：第一基本形式系数
$k$ ：经度方向比例因子
$h$ ：纬度方向比例因子
$a, b$ ：Tissot椭圆的长短轴（主比例因子）
$p$ ：面积比例因子
$\omega$ ：最大角度变形
$K$ ：高斯曲率
$ds$ ：线元素

说明：本附录收集了地图投影理论中的核心数学推导，从基本原理出发系统构建了主要投影的数学框架。推导采用严谨的数学表述，同时注重投影理论与实际应用的结合，为理解现代GIS和网络地图服务的技术基础提供参考。